中文名: 變分法基礎(第2版)
作者: 老大中
資源格式: PDF
版本: 掃描版
出版社: 國防工業出版社
書號: 9787118050783
發行時間: 2007年7月2日
地區: 大陸
語言: 簡體中文
簡介:

變分法（calculus of variations）
變分法是處理函數的函數的數學領域，和處理數的函數的普通微積分相對。譬如，這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造。變分法最終尋求的是極值函數：它們使得泛函取得極大或極小值。有些曲線上的經典問題采用這種形式表達：一個例子是最速降線，在重力作用下一個粒子沿著該路徑可以在最短時間從點A到達不直接在它底下的一點B。在所有從A到B的曲線中必須極小化代表下降時間的表達式。
變分法的關鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函數的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
　　變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強有力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有，黎曼在調和函數中使用狄利克雷原理。
　　同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，莫爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，稱為Plateau問題。
最優控制的理論是變分法的一個推廣。
本書內容簡介
《變分法基礎》(第2版)是變分法方面的專著，書中系統地介紹變分法的基本理論及其應用。編寫《變分法基礎》(第2版)的目的是希望為高等院校的研究生和高年級大學生提供一本學習變分法課程的教材或教學參考書，使他們能夠熟悉變分法的基本概念和計算方法。內容包括預備知識、固定邊界的變分問題、可動邊界的變分問題、泛函極值的充分條件、條件極值的變分問題、參數形式的變分問題、變分原理、變分問題的直接方法和力學中的變分原理及其應用。其中一部分內容是作者多年來的研究成果，特別是提出了完全泛函的極值函數定理，統一了變分法中的各種歐拉方程。《變分法基礎》(第2版)也可供有關專業的教師和科技人員參考。
書中截圖

目錄:
前言
第1章 預備知識
1.1 泰勒公式
1.2 含參變量的積分
1.3 場論基礎
1.4 直角坐標與極坐標的坐標變換
1.5 變分法基本引理
1.6 求和約定、克羅內克爾符號和排列符號
1.7 張量的基本概念
1.8 常用不等式
1.9 名家介紹
習題1
第2章 固定邊界的變分問題
2.1 古典變分問題舉例
2.2 變分法的基本概念
2.3 最簡泛函的變分與極值的必要條件
2.4 最簡泛函的歐拉方程
2.5 歐拉方程的幾種特殊類型及其積分
2.6 依賴於多個一元函數的變分問題
2.7 依賴於高階導數的變分問題
2.8 依賴於多元函數的變分問題
2.9 完全泛函的變分問題
2.10 歐拉方程的不變性
2.11 名家介紹
習題2
第3章 泛函極值的充分條件
3.1 極值曲線場
3.2 雅可比條件和雅可比方程
3.3 魏爾斯特拉斯函數與魏爾斯特拉斯條件
3.4 勒讓德條件
3.5 泛函極值的充分條件
3.6 泛函的高階變分
3.7 名家介紹
習題3
第4章 可動邊界的變分問題
4.1 最簡泛函的變分問題
4.2 含有多個函數的泛函的變分問題
4.3 含有高階導數的泛函的變分問題
4.4 含有多元函數的泛函的變分問題
4.5 具有尖點的極值曲線
4.6 單側變分問題
4.7 名家介紹
習題4
第5章 條件極值的變分問題
5.1 完整約束的變分問題
5.2 微分約束的變分問題
5.3 等周問題
5.4 混合型泛函的極值問題
5.5 名家介紹
習題5
第6章 參數形式的變分問題
6.1 曲線的參數形式及齊次條件
6.2 參數形式的等周問題和測地線
6.3 可動邊界參數形式泛函的極值
習題6
第7章 變分原理
7.1 集合與映射
7.2 集合與空間
7.3 標准正交系與傅裡葉級數
7.4 算子與泛函
7.5 泛函的導數
7.6 算子方程的變分原理
7.7 與自共轭常微分方程邊值問題等價的變分問題
7.8 與自共轭偏微分方程邊值問題等價的變分問題
7.9 弗裡德裡希斯不等式和龐加萊不等式
7.10 名家介紹
習題7
第8章 變分問題的直接方法
8.1 極小(極大)化序列
8.2 歐拉有限差分法
8.3 裡茨法
8.4 坎托羅維奇法
8.5 伽遼金法
8.6 最小二乘法
8.7 算子方程的特征值和特征函數
8.8 名家介紹
習題8
第9章 力學中的變分原理及其應用
9.1 力學的基本概念
9.2 虛位移原理
9.3 最小勢能原理
9.4 余虛功原理
9.5 最小余能原理
9.6 哈密頓原理及其應用
9.7 赫林格-賴斯納廣義變分原理
9.8 胡海昌-鹫津久一郎廣義變分原理
9.9 莫培督-拉格朗日最小作用量原理
9.10 名家介紹
習題9
附錄1 習題全解
附錄2 索引
參考文獻