中文名: 數學是什麼
作者: R .柯朗
H. 羅賓
譯者: 左平
張饴慈
資源格式: PDF
版本: 掃描版
出版社: 科學出版社
書號: 13031-2767
發行時間: 1985年1月
地區: 大陸,美國
語言: 簡體中文
簡介:

數學，作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志、缜密周詳的推理及對完美境界的追求。它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性。雖然不同的傳統學派可以強調不同的側面，然而正是這些互相對立的力量的相互作用，以及它們綜合起來的努力，才構成了數學科學的生命力、可用性和它的崇高價值。
　　
　　毫無疑問，數學的一切進展都不同程度的植根於實際的需要。但是理論一旦在實際的需要中被推動了，就不可避免的會使它自身獲得發展的動力，並超越出直接使用的界限。這在應用學科和理論學科的發展歷史中，經常出現這種情況。今天，在許多工程師和物理學家所寫的有關近代數學的論文中，也是屢見不鮮的。
　　
　　大約在公元前兩千年，東方國家出現有記載的數學，巴比倫人積累了極其豐富的資料，這些資料今天看來應屬於初等代數的范圍。至於數學作為現代意義的一門科學，則是直到公元前四至五世紀才在古希臘出現的。東方人和希臘人之間的接觸不斷增多（始於波斯帝國時期，至亞歷山大時期達到高峰），使希臘人得以熟習巴比倫人在數學和天文學方面的成就，很快數學問題便風行於希臘城邦的哲學討論之中。因而希臘的思想家逐漸意識到，數學中存在著若干極困難的概念，如連續性、運動、無限性，以及在用已知的單位量度量任意量的問題中。這些難題經過了艱辛的努力後，產生了歐多克斯的幾何連續統理論，它堪於兩千多年後的現代無理數理論相媲美。數學中這種公理演繹法就是從歐多克斯時代逐步發展起來的，又在歐幾裡得的“幾何原本”中得以充分表達。
　　
　　雖然希臘數學的理論化和公理化得傾向一直是它的一個重要特點，並且曾產生過巨大的影響。但是，對這一點我們不能過分強調，因為在古代數學中，應用以及同客觀實際想結合相結合起了同樣重要的作用，而且嚴謹性較歐幾裡得幾何原本差的表達方式通常更受歡迎。
　　
　　由於較早的發現了有關“不可公度”量的困難，希臘人沒能先於東方人掌握的數值計算的技術，他們改變方向，專注於研究如何突破純粹公理化幾何的障礙。於是科學史上出現了一段迂回曲折，這意味著一個很好的機會可能被錯過了。幾乎長達兩千年之久，希臘幾何的傾向性嚴重障礙了數的概念和代數運算的正常進展，而正是這些進展構成了近代科學的基礎。
　　
　　經歷了一個漫長的醞釀過程，直到十七世紀，隨著解析幾何與微積分的發展，數學和科學又進入了生機勃勃的大變革時期。此時，雖然希臘的幾何學仍然占有重要的地位，但是希臘人對於公理體系的定型和系統的推演的興趣，在十七、十八世紀逐漸消失，從一些明確的定義和顯見的互不矛盾的公理出發，進行嚴密的邏輯推理，這對於數學科學新的開拓者來說，似乎已無關緊要了。通過直觀的猜想、嚴謹的推理和無意識的神秘主義，以及對形式推理方法的力量的盲目自信，他們開拓了一個蘊藏著無盡寶藏的數學世界。但是後來，大發展引起的狂熱逐漸讓位於一種克己精神。到了十九世紀，由於學科嚴密化的內在需要，且同時受到法國大革命激起的擴大高等教育的熱情的影響，要求其內容更加可靠的呼聲日益高漲，就不可避免地要校驗這些新數學，特別是微積分及其極限概念的基礎。因此十九世紀不僅成為一個新的發展時期，同時也成功的返回到嚴格證明的古典理想時期。在這方面，它甚至勝過了希臘科學的模式。於是，重心再次向邏輯純粹性和抽象性的一側偏去。時至今日，我們仍處於這個時期。然而人們期望純粹數學和實際應用脫節的局面經歷一個批的修正階段判性，進入一個兩者緊密結合的新時代。恢復數學本來面目的力量，特別是在清晰理解的基礎上得到認識上的極大簡化，使得人們有可能在不忽略應用的前提下來掌握數學理論。再次建立純數學和應用科學之間的有機結合，抽象的共性和豐富多采的個性之間的合理平衡，這將是今後數學工作者的首要任務。
　　
　　這不是對數學進行詳細的哲學或心理學分析的地方。但是有幾點必須強調一下，目前過分強調數學的公理演繹的風氣，似乎有盛行起來的危險。事實上，那種創造發明的要素和起指導和推動作用的要素，雖然不能用簡單的哲學公式來表達，但是它們卻包含著任一數學成就的核心，即使在最抽象的科學領域中也是如此。如果說固定程式的演繹形式是目標的話，那麼通過作圖來直觀的表達至少也是一種原動力。有一種觀點對科學是嚴重的威脅，它斷言數學不是別的東西，而只是從定義和公理退導出來的一組結論，而這些定義和命題除了必須互不矛盾外，完全出自數學家的隨意創造。如果這個說法是正確的話，數學就不會吸引任何有理智的人，它將成為定義、規則和三段論的游戲，既沒有動力也沒有目標。有人認為，有才智的人憑靈感能處理有意義的公理系統，這種看法是不可信的但部分真實的曲解。只有在視數學為有機整體的基礎上，在客觀需要的引導下，自由的思維才能獲得具有科學價值的成果。
　　
　　盡管邏輯分析的思辯趨勢並不代表數學的全部，但它卻引導人們對數學事實和它們相互間的依存關系有了更深刻的理解，並對數學中的概念有了更深刻的理解。也由此展現出近代數學觀點，它標志著普遍的科學水平。
　　
　　不論人們的哲學觀點如何，就科學觀察的目的來說，在於從總體上把握事物與感知的材料或媒介間的所有可能關系。當然單憑感覺並不能構成知識和見解，它必須與某些基本的實體即“自在之物”相契合、相印證。所謂“自在之物”並不是直接從物理觀察得到的東西，而是屬於形而上學的。然而，對於科學方法來說，重要的是放棄帶有形而上學性質的實體，而去研究那些通常作為概念和理論直接來源的可觀察的事實，摒棄理解“自在之物”、認識“終極真理”以及闡明世界的內在本質等目標，這對笃誠的信奉者來說，可能精神上難以接受，但它確實是近代科學思維最有益的一種轉變。
　　
　　物理學上所取得的一些最偉大的成就，正是由於敢於堅持摒棄“形而上學”這個原則的結果，當愛因斯坦試圖把“在不同位置同時發生的事件”的概念轉變為可觀察的現象時，他摒棄了認為上述概念必須有自身的科學意義的形而上學的偏見，從而發現了相對論的關鍵所在。當玻耳和他的學生們分析了下述事實，即任何物理觀測，必定伴隨著觀測工具對被觀測對象的一種影響，從而得知，同時准確的測定一個質點的位置和速度在物理學意義上是不可能的。這個發現的深遠意義已體現在近代量子力學的理論中，而為每個物理學家所熟知。在十九世紀流行著一種觀念，認為空間中質點受力和機械運動都是自在之物，而電、光、磁都必須轉化或解釋為力學現象，正如以前處理“熱”的方法那樣。人們發明了一種假想的介質“以太”，但它不能對光電作出力學運動的解釋。逐漸地，人們認識到以太是觀測不到的，他屬於形而上學，而不屬於物理學。於是有些人表示遺憾，而另一些人則表示慰籍，最終，光與電的力學解釋以及與之聯系的以太都被摒棄了。
　　
　　數學中有些情況與此相似，且表現得更為突出。長久以來，數學家把他們的研究對象，例如數、點等，考慮為真實的自在之物。因為這些實體通常采用相應的描述來定義，直到十九世紀，數學家才認識到，這些對象的實際描述對數學來說是全然沒有意義的。與這些對象有關的闡述並不涉及到真正的實體，它們只是闡明了這些數學上不予定義的對象之間的相互關系，以及它們所遵循的運算法則。至於點、線、數實際上是什麼，實際上不可能也不必要在數學科學中去討論它們。關鍵在於結構與關系要與可驗證的事實相符合，如：兩點決定一直線，按照一定法則由一些數形成其它一些數等等。近代數學公理化進展中最重要且最有效的成果之一，就是明確地認識到數學的基本概念並不必須具體化。
　　
　　幸好創造性的思維經常沖破教條主義哲學信念的束縛而繼續發展著，凡是堅持後者的必然妨礙獲得建設性的新成就。不論對專家還是普通人，唯一能回答“數學是什麼？”這個問題的，是數學的自身經驗而不是哲學。
作者簡介
R·柯朗（Richard Courant）是20世紀傑出的數學家，哥廷根學派重要成員。他生前是紐約大學數學系和數學科學研究院的主任，該研究院後被重命名為柯朗數學科學研究院。他寫的書《數學物理方程》為每一個物理學家所熟知；而他的《微積分學》已被認為是近代寫得最好的該學科的代表作。
　　H·羅賓Herbert Robbins）是新澤西拉特傑斯大學的數理統計教授。
　　I·斯圖爾特（Ian Stewart）是沃裡克大學的數學教授，並且是《自然界中的數和上帝玩色子游戲嗎》一書的作者；他還在《科學美國人》雜志上主編《數學娛樂》專欄；他因使科學為大眾理解的傑出貢獻而在1995年獲得了皇家協會的米凱勒法拉第獎章。

目錄:
什麼是數學
第1章 自然數
引言
§ 1 整數的計算
§ 2 數系的無限性 數學歸納法
第1章補充 數論
引言
§ 1 素數
§ 2 同余
§ 3 畢達哥拉斯數和費馬大定理
§ 4 歐幾裡得輾轉相除法
第2章 數學中的數系
引言
§ 1 有理數
§ 2 不可公度線段 無理數和極限概念
§ 3 解析幾何概述
§ 4 無限的數學分析
§ 5 復數
§ 6 代數數和超越數
第2章補充 集合代數
第3章 幾何作圖 數域的代數
引言
第1部分 不可能性的證明和代數
§ 1 基本幾何作圖
§ 2 可作圖的數和數域
§ 3 三個不可解的希臘問題
第2部分 作圖的各種方法
§ 4 幾何變換 反演
§ 5 用其他工具作圖 只用圓規的馬歇羅尼作圖
§ 6 再談反演及其應用
第4章 射影幾何 公理體系 非歐幾裡得幾何
§ 1 引言
§ 2 基本概念
§ 3 交比
§ 4 平行性和無窮遠
§ 5 應用
§ 6 解析表示
§ 7 只用直尺的作圖問題
§ 8 二次曲線和二次曲面
§ 9 公理體系和非歐幾何
附錄 高維空間中的幾何學
第5章 拓撲學
引言
§ 1 多面體的歐拉公式
§ 2 圖形的拓撲性質
§ 3 拓撲定理的其他例子
§ 4 曲面的拓撲分類
附錄
第6章 函數和極限
引言
§ 1 變量和函數
§ 2 極限
§ 3 連續趨近的極限
§ 4 連續性的精確定義
§ 5 有關連續函數的兩個基本定理
§ 6 布爾查諾定理的一些應用
第6章 補充 極限和連續的一些例題
§ 1 極限的例題
§ 2 連續性的例題
第7章 極大與極小
引言
§ 1 初等幾何中的問題
§ 2 基本極值問題的一般原則
§ 3 駐點與微分學
§ 4 施瓦茨的三角形問題
§ 5 施泰納問題
§ 6 極值與不等式
§ 7 極值的存在性 狄裡赫萊原理
§ 8 等周問題
§ 9 帶有邊界條件的極值問題 施泰納問題和等周問題之間的聯系
§ 10 變分法
§ 11 極小問題的實驗解法 肥皂膜實驗
第8章 微積分
引言
§ 1 積分
§ 2 導數
§ 3 微分法
§ 4 萊布尼茨的記號和“無窮小”
§ 5 微積分基本定理
§ 6 指數函數與對數函數
§ 7 微分方程
第8章 補充
§ 1 原理方面的內容
§ 2 數量級
§ 3 無窮級數和無窮乘積
§ 4 用統計方法得到素數定理
第9章 最新進展
§ 1 產生素數的公式
§ 2 哥德巴赫猜想和孿生素數
§ 3 費馬大定理
§ 4 連續統假設
§ 5 集合論中的符號
§ 6 四色定理
§ 7 豪斯道夫維數和分形
§ 8 紐結
§ 9 力學中的一個問題
§ 10 施泰納問題
§ 11 肥皂膜和最小曲面
§ 12 非標准分析
附錄 補充說明 問題和習題
算術和代數
解析幾何
幾何作圖
射影幾何和非歐幾何
拓撲學
函數、極限和連續性
極大與極小
微積分
積分法
參考書目1
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