中文名: 黎曼幾何相關教材
原名: Riemannian Geometry
別名: Riemann Geometry,Kahler Geometry,Differential Geometry
作者: Jurgen Jost
Peter Petersen
伍鴻熙等
資源格式: DJVU
出版社: Springer出版社；世界圖書出版社；北京大學出版社等
書號: 3-540-42672-2
發行時間: 2002年
地區: 大陸,美國,英國,法國,德國
語言: 簡體中文,英文
簡介:

這些是一些關於黎曼幾何的書，已經不少了，還會陸續補充。當然其中有些書在VC上已經有人發過了，我把它們整理出來，是想給學習黎曼幾何的人節省一些尋找的麻煩。
本人晚上在線，節假日在線，長期供源。
—————————————————— 簡介 ———————————————————
下面重點介紹幾本書：
伍鴻熙. 《黎曼幾何初步》. 北京大學出版社.1989
下面摘錄該書的序言，通過此序言，可以窺見作者的用心良苦。本來想選段，但是實在不捨得刪，請各位喜愛數學的人仔細讀讀吧。
致讀者的話：
“你們的事業的成長，應該像一棵樹的成長一樣。應該是順其自然，無間斷和全面的。我希望你們的根能夠在這個學院的肥沃土地下面盡量深入，以使你們的樹干長的既粗且壯。這樣，將來無論樹葉無論多麼茂盛豐滿，也永遠不會有水分供應不暇的毛病。在上空將不時有狂風大雨，也會有行雷閃電。所以切勿長得太快太高。”
以上的一段話，是當代英國演員羅倫士奧利維亞在1947年Old Vic戲劇學院開幕典禮中，向學生致詞的一部分。這幾句話對你們是有特殊意義的。應為這本書是一本很初步的。如果你們有意細讀這本書的話，則最少要弄清楚從這本書中你們能夠得到什麼。目前一般研究生心目中，最迫切的問題似乎是：有沒有一個可以寫一篇文章的小題目？因此我要先此聲明：這本書不討論這一類的小題目。我寫這本書的原意，只是希望能使“你們的根盡量向下深入”。以後是否開枝發葉，就只能看你們自己的努力和天賦。書內所討論的題目，都是一般性的和基礎性的，而且也是任何一個幾何學家所熟悉的。要是你們能夠好好掌握著幾個基本性的概念，並且在將來能對幾何學有一個比較全面的理解則日後自然能夠挑一些有意義的大題目來做。急功好利，只顧眼前的收獲，和只找易做的小題目來寫文章，這都不是一個數學工作者應有的態度。這本書應該是你們向前邁進的踏腳石之一。我希望你們能夠很快就能超過這本書的范圍。
每一本書的作者都有一點和一個魔術師相同的地方，就是希望觀眾或讀者所看見的一切，剛好也是他希望他的讀者或觀眾所看到的一切。那麼在我心目中，幻想你們能夠從這本書中看到的是什麼呢？
第一，你們會了解書內的定義和定理既都是人為的，又同時是合理的。也許你們認為一本書要寫得高深莫測，才能顯出作者的學問淵博，但是我卻希望你們會覺得書中的一切，不但是理所當然的，而且是容易得只要肯花一點功夫就可以自己做出來的。要做到這一點，除了一般的“定義->定理->證明”基本形式以外，我設法多加一些按語來說清楚每個主要定義和主要定理的來龍去脈和直觀意義。另一方面我也要指出，書中的概念和結果所以被認為是基本性的，並不是因為某某權威說過是如此如此，而是因為經過時間的考驗後，發現確切是如此的。就是說，從經驗的總結，我們現在知道這些概念和定理是有用和必需的。所以一個初學者應該致力於探求所學的為什麼是有用的和必需的，否則不能對所學有一個全面的了解。這種治學態度，其實不單是適用於數學上，而且是適用於一切學問的領域上的，包括社會科學在內。
其次，我希望你們能夠把握全書的要點，同時也能把握每個定理，每個證明，和每個概念的要點。一個好的數學書應該不同於一本字典。在後者當中每一個字都占有同等地位。但是如果說這本書內無數定義，定理和證明都是同樣重要的，就未免荒謬無稽了。比方說，弧長的二次變分公式只是一個一般性的技巧的結果，要點在於弄清楚如何把它應用於具體的情況，而不在於探討這個公式本身的深度或者研究這個公式的推導。所以不應該只算出這個公式而不給應用，更不應該把這個公式當作主要定理之一。又比如說，Synge定理的證明看來是相當累贅的。但是從一個很直觀的的事實作出發點，就是“任何一個非單連通的緊致黎曼流形上必存在一個非同倫於零的最短閉曲線”，則其他一切都是順理成章的了。
所以我希望你們養成一個習慣，總要問：這本書的要點何在？這一章的要點何在？這個證明的要點何在？能找到所有這些問題的答案，才能說有真正的了解。
最後，我希望你們能夠完全以直觀的眼光去了解這本書的內容。所有數學書都是充滿了技術性的術語的，因為為了要表達清楚，作者毫無選擇的余地。但是一個數學工作者的思考，大部分時間是靠直觀（甚至是過分簡化的直觀）的想法來向前推進的。在幾何學上這一點尤其是重要。所以書內這一類直觀的討論，比其他的數學課本會多一些。也許你們還迷信所謂的“數學嚴格性”，以為數學上最重要的事是每一步推論的正確性。這個論點，相當於說魯迅文章的好處，主要是每句話都寫得很通順。我希望你們不會犯這個“見小不見大”的毛病。
......
你們一定以為“向大師學習”，只是一句說來動聽而不切實際的話。這是可以理解的。畢竟年輕人愛時髦，看的文章總要越新越好。所以一二十年前的文章便已有過時之嫌，更遑論十九世紀的文章？可是這個提法是無需我來辯護的，因為有才學遠超過我的人來代替我做。在我做研究生的時候，有一次去聽Andre Weil演講。他一開頭就說年輕人一定要找高斯，Euler等第一流的數學家的全集來讀。在這方面，Weil是一個言行十分一致的人。1947年有一段時間他的情緒低落，但從翻閱高斯的文集中得到啟發，因而作了一連串的猜想。
這就是支配了過去三十年來代數幾何發展的“Weil猜想”。其實相像的例子是太多了。與其多舉，還不如推薦下列數篇文章，讓你們自己親身體會罷：
一 高斯創造近代曲面幾何學的文章：Disquisitiones generales circa superficies curves.這篇文章最近剛有新的英文翻譯和注釋。請閱 P.Dombrowski,150 Years After Gauss's Disquisitiones.. ,Asterisque,Vol.62, Soc. Math. France.1979
二 黎曼創造“黎曼幾何”的短文：Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 這篇文章的英文翻譯和詳細解釋可在本書參考文獻[S8,II]中找到。
三 Poincare創造代數拓撲的一系列文章：
Analysis situs, J.Ecole Polytechnique (2) 1(1895), 1-121;
1r Complement, Rend.circ.mat.Palermo 13(1899), 285-343;
2d Complement, Proc.London.Math.Soc. 32(1900), 277-308;
3e Complement, Bull.Soc.Math.France 30(1902), 49-70;
4e Complement, J.Math.Pure.Appl. (5) 8(1902), 169-214;
5e Complement, Rend.circ.mat.Palermo 18(1904), 45-110.
這些文章都是你們基本上能夠看懂的。同時我也可以保證，他們會使你們感覺無限鼓舞的。
下面錄出的兩段話，也許足以提供一些與眾不同的看法給大家作參考。第一段是近代奧運會的創始人Pierre de Coubertin 說的：
運動的目的不在勝利而在競爭
人生的意義不在克服而在奮斗
另一段則是古代希臘奧運會的格言之一：
切勿要求勝利，只應要求有一往無前的勇氣。因為從堅韌不拔的奮斗中，你將為自己迎來榮譽。但更重要的，你將為全人類迎來光榮。
伍鴻熙
1985年6月於北京大學
這本書是一本非常不錯的黎曼幾何入門書，本書要求讀者有一定流形方面的基礎。作者的意思是讓你明白看似偉大的發現是如何想出來的，使你感覺你只需要稍花一些功夫就能夠自己做出來。本書最大的特點就是作者按語篇幅幾乎要趕上正文了！在序言中提到的黎曼創造黎曼幾何的短文正是第十個文件。
陳維桓的《黎曼幾何引論》也是一個作為入門的選擇。
伍鴻熙的《黎曼幾何選講》想對前面要深一些，可供有一定黎曼幾何基礎的人研讀。
伍鴻熙所作《微分幾何中的BOCHNER技巧》是他在1981和1982年發表在《數學進展》期刊上的文章，BOCHNER方法在黎曼幾何和幾何分析中有著重要應用。這篇文章可以看作是伍鴻熙《黎曼幾何初步》第12節的深入討論。
曹建國《現代黎曼幾何簡明教程》是一本語言簡潔的偏分析的非入門黎曼幾何書。
Peter Petersen《Riemannian Geometry》是一本黎曼幾何的標准教材。本書介紹黎曼幾何中的重要技巧和定理，為滿足那些希望專門研究黎曼幾何的學生，書中還包含大量關於較深論題的背景材料。本書還介紹了最新的研究問題。各種練習散布全書，幫助讀者深入理解書中內容。本書是為數不多的整合了黎曼幾何的幾何和分析兩方面內容的專著之一，適合熟悉張量和斯托克斯定理等流形理論的讀者。
Gallot《Riemannian Geometry》本書詳細給出了曲率與拓撲學之間關系的經典結果，圖文並茂，直觀清晰。內容包括微分流行、黎曼度量、Levi-Civita連通、測地線和曲率，並特別強調他們的內蘊性質。另外，書中還有當代數學研究領域中的最熱門論題，有些內容則是首次出現在教科書中。
Jurgen Jost《Riemannian Geometry and Geometric Analysis》和Chavel《Riemannian Geometry—A Modern Introduction》講純黎曼幾何的部分想對較少，幾乎60％都在講更高層次的“幾何分析”這一學科。因此不適合初學黎曼幾何，可供研究幾何分析的讀者研讀。
陳省身先生的《An Introduction to Riemann-Finsler Geometry》大師的著作，對於想學習Riemann-Finsler幾何的讀者是一本有深度的教材。
Lee.J.M.《Riemannian Manifolds:An Introduction to Curvature》本是為一個學期的課程而作。雖然內容單薄了些，但是對於那些只想認識一下黎曼幾何的讀者也是不錯的。
上面列出的書均是黎曼幾何方面的好書，任意從中選擇一本適合自己程度的教材或參考書應該是沒問題的。最後給出了djvu的閱讀器，也就算是給不知道djvu的人們解去一些困惑了。
目錄:
下面是Jurgen Jost《Riemannian Geometry and Geometric Analysis》的目錄：
1. Foundational Material
1.1 Manifolds and Differentiable Manifolds
1.2 Tangent Spaces
1.3 Submanifolds
1.4 Riemannian Metrics
1.5 Vector Bundles
1.6 Integral Curves of Vector Fields. Lie Algebras
1.7 Lie Groups
1.8 Spin Structures
Exercises for Chapter 1
2. De Rham Cohomology and Harmonic Differential Forms
2.1 The Laplace Operator
2.2 Representing Co homology Classes by Harmonic Forms
2.3 Generalizations
Exercises for Chapter 2
3. Parallel Transport, Connections, and Covariant Derivatives
3.1 Connections in Vector Bundles
3.2 Metric Connections. The Yang-Mills Functional
3.3 The Levi-Civita Connection
3.4 Connections for Spin Structures and the Dirac Operator ..
3.5 The Bochner Method
3.6 The Geometry of Submanifolds. Minimal Submanifolds ...
Exercises for Chapter 3
4. Geodesics and Jacobi Fields
4.1 1st and 2nd Variation of Arc Length and Energy
4.2 Jacobi Fields
4.3 Conjugate Points and Distance Minimizing Geodesics ...
4.4 Riemannian Manifolds of Constant Curvature
4.5 The Rauch Comparison Theorems and Other Jacobi Field Estimates
4.6 Geometric Applications of Jacobi Field Estimates
4.7 Approximate Fundamental Solutions and Representation Formulae
4.8 The Geometry of Manifolds of Nonpositive Sectional Curvature
Exercises for Chapter 4
A Short Survey on Curvature and Topology
5. Symmetric Spaces and Kahler Manifolds
5.1 Complex Projective Space
5.2 Kahler Manifolds
5.3 The Geometry of Symmetric Spaces
5.4 Some Results about the Structure of Symmetric Spaces ..
5.5 The Space SI(n,R)/SO(n,R)
5.6 Symmetric Spaces of Noncompact Type as Examples of Nonpositively Curved Riemannian Manifolds
Exercises for Chapter 5
6. Morse Theory and Floer Homology
6.1 Preliminaries: Aims of Morse Theory
6.2 Compactness: The Palais-Smale Condition and the Existence of Saddle Points
6.3 Local Analysis: Nondegeneracy of Critical Points, Morse Lemma, Stable and Unstable Manifolds
6.4 Limits of Trajectories of the Gradient Flow
6.5 The Morse-Smale-Floer Condition: Transversality and Z2-Cohomology
6.6 Orientations and Z-homology
6.7 Homotopies
6.8 Graph flows
6.9 Orientations
6.10 The Morse Inequalities
6.11 The Palais-Smale Condition and the Existence of Closed Geodesics
Exercises for Chapter 6
7. Variational Problems from Quantum Field Theory ..
7.1 The Ginzburg-Landau Functional
7.2 The Seiberg-Witten Functional
Exercises for Chapter 7
8. Harmonic Maps
Appendix
Bibliography
Index